无限的定义和分类

                      ----兼谈芝诺悖论、对角线问题和林益先生提出的两个问题

摘录：聪明的芝诺给数学家们设计了一个陷阱，使其陷在里面长达2500年跳不出来，不知道应该赞扬古人的智慧还是应该批评现代人的糊涂？

摘要：本文给出了无限的定义：可以不断延伸的有限，并首次给出了真假无限的概念，从而很好地解释了潜无限和实无限各自的适用范围：真无限是潜无限；假无限是可以看作实无限的潜无限。本文同时讨论了芝诺悖论、对角线等问题：产生芝诺悖论是混淆了主观和客观的区别所致，对角线问题则是将有限和无限割裂开来所致。本文同时对是否有必要在集合论中引入实无限作了讨论。

1   无限的定义和分类

从实践的角度来看，人们实际进行的数学计算都是有限的。例如，刚学会计数时，十个手指就够用了，即计算的上界为10。以后该上界逐渐增加。例如，常温常压下，22.4 升的气体中，分子的数目有6.023*10^24 之多。这是一个很大的数，远远超出了一般人的想象。由于上界被不断突破，聪明的人们会想，增加到什么程度是个头啊？于是就提出了没有上界的无限这一概念。

因此，从数学史和人类的实践活动来看，无限不过是无上界的有限，或者说是有限的不断延伸。

无限的定义：不断延伸的有限称为无限。

既然有限的延伸是“不断”的，即没有终点，延伸过程就是不能完成的，所以

命题1（无限的性质命题）：任何无限都是不能完成的。

无限虽然不能完成，但聪明的人们会想，能否找到一种方法，把无限化为有限？这种另辟蹊径的方法显然很聪明，且有时还确实成功了（例如可以精确表达的极限），但也并不是一定有效，所以就产生了两种不同类型的无限：

真无限：无法转化为有限的无限。

假无限：可以转化为有限的无限。

假无限虽然仍然可以表示为无限的形式，但由于无限的结果可以用有限的方式求出（真无限做不到这一点），实际上已经不是一种无限了。

当然，这两种无限的分类并不一定是绝对的，例如，随着理论的发展，某种真无限有可能会变为假无限。

无限虽然不可能完成，但对假无限来说，可以用有限的方法得到完成了的无限的结果，这样，对假无限来说，无限似乎又变得可以完成了，所以又可以将无限分类成：

潜无限：无法完成的无限。

实无限：可以完成的无限。

但由命题1可见，任何无限都是不能完成的，所以任何无限都是潜无限，而所谓实无限，只不过是适用于假无限的一种想象或假定而已。

2  一些进一步的讨论

    命题 2：如果一个命题在有限时不成立，则在该有限的不断延伸即在无限时也不成立。

证明：由于无限是有限的不断延伸，故在不断的延伸过程中始终是有限过程。因此，如果一个命题在有限时不成立，在该有限的不断延伸即在无限时也不成立。

    命题 2 虽然简单，但却可以将无限问题化为简单的有限问题，从而可以排除很多错误。

    例如，虽然对角线法证明实数不可数是在无限情况下进行的，但根据命题 2，首先必须考察其在有限情况下是否能成立，而在有限情况下，n位小数可以有10n个实数，只能形成一个行列不等的长方形，无法在上面建立对角线。